El hombre siempre ha sentido la necesidad de contar y por ello ha creado una serie de sistemas de numeración, estableciendo convenios y propiedades. En el sistema factorial tomaremos la sucesión de los naturales empezando desde el 2, o sea 2,3,4,… donde cada cifra quedará multiplicada por el factorial de la posición. Indicaremos ésta base colocando el signo de admiración (!) en lugar de la base.
Para empezar a trabajar el sistema factorial primero definiremos el factorial de un número así:
Para todo número natural n, se llama n factorial o factorial de n al producto de todos los naturales entre 2 y n:
n! = 1*2*3*4*… *(n-1)*n
Reglas para escribir un número en base factorial
- Para escribir un número en base factorial se van anotando las unidades correspondientes a cada orden, de izquierda a derecha.
- Se empieza por las unidades de orden superior y se pone un cero en el lugar correspondiente al orden del cual no hay unidades.
- Se debe tener en cuenta que las unidades deben ser menores o iguales al orden al que corresponden.
Números escritos correctamente en base factorial:
- 1632311(!) = 1*7!+6*6!+3*5!+2*4!+3*3!+1*2!+1*1!
Éste número está escrito correctamente en base factorial porque:
- Las unidades correspondientes a cada orden (1, 6, 3, 2, 3, 1, 1) están anotadas de izquierda a derecha.
- Se empieza por las unidades de orden superior, en orden descendente.
1 unidad del séptimo orden
6 unidades del sexto orden
3 unidades del quinto orden
2 unidades del cuarto orden
3 unidades del tercer orden
1 unidad del segundo orden
1 unidad del primer orden
- Las unidades deben ser menores o iguales al orden al que corresponden. En el ejemplo, 1 es menor que siete, es decir, es menor al orden al que corresponde, 6 es igual a 6, es decir, es igual al orden al que corresponde, 3 es menor que 5, es decir, es menor al orden al que corresponde, 2 es menor que 1, es decir, es menor al orden al que corresponde, 3 es igual a tres, es decir, es igual al orden al que corresponde, 1 es menor que 2, es decir, es menor al orden al que corresponde, 1 es igual a 1, es decir, es igual al orden al que corresponde.
- 40021(!) = 4*5!+0*4!+0*3!+2*2!+1*1!
Éste número está escrito correctamente en base factorial porque:
- Las unidades correspondientes a cada orden (4, 0, 0, 2, 1) están anotadas de izquierda a derecha.
- Se empieza por las unidades de orden superior y se pone un cero en el lugar correspondiente al orden del cual no hay unidades.
4 unidades del quinto orden
0 unidades del cuarto orden
0 unidades del tercer orden
2 unidades del segundo orden
1 unidad del primer orden
- Las unidades deben ser menores o iguales al orden al que corresponden. 4 es menor que 5, es decir, es menor al orden al que corresponde, 2 es igual que 2, es decir, es igual al orden al que corresponde, 1 es igual a 1, es decir, es igual al orden al que corresponde.
Números escritos incorrectamente en base factorial:
- 5832(!) = 5*4!+4*3!+3*2!+2*1!
= 5!+4!+3!+2!
Éste número está escrito incorrectamente en base factorial porque no cumple con la regla número 3 para escribir un número en base factorial, es decir, hay unidades que son mayores al orden al cual corresponden. Veamos, 5 es mayor que 4, es decir, es mayor al orden al cual corresponde, 8 es mayor que 3, es decir, es mayor al orden al cual corresponde, 3 es mayor que 2, es decir, es mayor al orden al cual corresponde, 2 es mayor que 1, es decir, es mayor al orden al cual corresponde.
- 31(!) = 3*2!+1*1!
= 3!+1!
Éste número está escrito incorrectamente en base factorial porque no cumple con la regla número 3 para escribir un número en base factorial, es decir, hay unidades que son mayores al orden al cual corresponden. Nótese que 3 es mayor que 2, es decir, es mayor al orden al cual corresponde.
¿Cómo convertir un número escrito en el sistema factorial al sistema decimal?
REGLA
Cada unidad se multiplica por el factorial que le corresponde de acuerdo a su posición, empezando de izquierda a derecha. Todos los productos se suman y el resultado es el número escrito en el sistema decimal.
Ejemplos:
- 4541001(!) = 4*7!+5*6!+4*5!+1*4!+0*3!+0*2!+1*1!
= 4*5040+5*720+4*120+1*24+0*6+0*2+1*1
= 20160+3600+480+24+0+0+1
= 24265
- 321010(!) = 3*6!+2*5!+1*4!+0*3!+1*2!+0*1!
= 3*720+2*120+1*24+0*6+1*2+0*1
= 2160+240+24+2
= 2426
¿Cómo convertir un número escrito en el sistema decimal al sistema factorial?
REGLA
Se divide el número y los sucesivos residuos por el factorial que más se aproxime a cada uno de ellos por defecto. El nuevo número se forma escribiendo de izquierda a derecha todos los cocientes empezando por el primero que obtuvimos hasta llegar al último, teniendo en cuenta que el factorial por el cual se dividió cada número determinó el orden en el cual se encuentra cada cociente y por lo tanto su posición, es decir, se deben poner ceros en el lugar correspondiente al orden del cual no hay unidades.
Ejemplos:
- Convertir 253 (número escrito en sistema decimal) al sistema factorial.
253 = 2*5!+13
13 = 2*3!+1
1 = 1*1!+0 Luego,
253 = 2*5!+2*3!+1*1!
= 2*5!+0*4!+2*3!+0*2!+1*1!
Por lo tanto,
253 = 20201(!)
- Convertir 1547 (número escrito en sistema decimal) al sistema factorial.
1547 = 2*6!+107
= 2*6!+4*4!+11
= 2*6!+4*4!+1*3!+5
= 2*6!+4*4!+1*3!+2*2!+1
= 2*6!+4*4!+1*3!+2*2!+1*1! Luego,
1547 = 2*6!+0*5!+4*4!+1*3!+2*2!+1*1!
Por lo tanto,
1547 = 204121(!)
BIBLIOGRAFÍA
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desde http:// www.oma.org.ar/omanet/cym98/basesfact.htm
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